(확률의 도구들) “적어도 하나”의 확률 — 여사건으로 풀면 쉬워지는 문제
통계기초
확률
확률 1%짜리 아이템을 100번 뽑으면 반드시 나올까? 아니다. 적어도 한 번 나올 확률은 63.4%이고, 절반의 확률로 만나려면 69번, 90%를 확신하려면 230번을 뽑아야 한다. ’적어도 하나’는 ’하나도 없을 확률’을 빼면 쉽게 풀리는 여사건의 문제다.
1% 확률로 100번 뽑으면 나올까
모바일 게임의 ’확률형 아이템’에서 원하는 캐릭터가 나올 확률이 1%라고 하자. 100번 뽑으면 100 × 1% = 1이니 한 번은 나오는 것 아닐까? 많은 사람이 이렇게 직관적으로 계산하지만, 실제로 적어도 한 번 나올 확률은 63.4%에 불과하다. 100번을 뽑고도 빈손일 확률이 36.6%나 된다. 2024년 3월 22일부터 국내에서는 게임산업법에 따라 확률형 아이템의 확률 정보를 의무적으로 공개해야 한다. 이제 공개된 ’1%’라는 숫자를 어떻게 읽어야 하는지가 중요해졌다.
“적어도 하나”는 통째로 세지 말고 뒤집어라
‘적어도 한 번 나온다’는 사건은 ’한 번 나온다’, ‘두 번 나온다’, ‘세 번 나온다’… 를 모두 더해야 해서 복잡하다. 그런데 이 사건의 여사건, 곧 ’한 번도 안 나온다’는 단 하나의 경우다. 뽑기가 서로 독립이라면 100번 연속 실패할 확률은 \(0.99^{100}=36.6\%\)이고, 구하려던 확률은
\[P(\text{적어도 한 번}) = 1 - P(\text{한 번도 없음}) = 1-0.99^{100} = 63.4\%\]
로 한 줄에 끝난다. 복잡한 합을 피하려고 반대편에서 세는 것, 이것이 여사건의 힘이다.
몇 번을 뽑아야 ’나올 만하다’고 말할 수 있나
절반의 확률로 만나려면 \(0.99^n \le 0.5\)를 풀어 \(n\ge 69\)번, 90%를 확신하려면 \(n\ge 230\)번이 필요하다. 확률이 0.5%로 절반이 되면 필요한 횟수는 거의 두 배(139번, 460번)로 뛴다. 그래서 일부 게임은 일정 횟수를 채우면 당첨을 보장하는 ‘천장’ 제도를 두는데, 이는 운이 나쁜 이용자의 꼬리를 잘라내는 장치다. 천장이 없다면 230번을 뽑고도 10%의 사람은 여전히 빈손이다.
“적어도 하나”를 만나면
- ’적어도 하나’가 보이면 여사건으로 뒤집어라. \(1-P(\text{하나도 없음})\)이 대개 가장 빠른 길이다.
- 시도가 독립인지 확인하라. 독립일 때만 실패 확률을 거듭제곱으로 곱할 수 있다.
- 기댓값 1과 확률 100%를 혼동하지 마라. 평균적으로 한 번 나오는 횟수(100번)를 뽑아도 빈손일 확률이 37%가 남는다.
- ’몇 번 해야 절반인가’로 바꿔 물어보라. \(n \approx 0.69/p\)라는 어림값이 유용하다.
더 깊이: 여사건과 확률의 기본 성질
강의노트 〈수리통계학 1. 확률론 — 확률계산 관련 정리〉는 \(P(A^c)=1-P(A)\)를 확률의 기본 정리로 정리한다. 오늘 계산은 이 한 줄에 독립사건의 곱셈 규칙을 더한 것뿐이다. 앞서 살펴본 생일 문제도 같은 뿌리에서 자란 문제였다.
SDV 관점: “평균 1회”가 아니라 “한 번도 못 만날 확률”을 설계하라
여사건 계산은 요약과 추론(1~2단계)의 기본기다. SDV(통계적 데이터 가치화) 관점에서 중요한 대목은, 이 계산이 곧 ’고객이 느끼는 실패 확률’을 정량화하는 도구라는 점이다. 100번 시도하면 평균 한 번 성공한다는 보고서는 참이지만, 고객의 37%가 끝까지 빈손이라는 사실은 감춘다. 이탈률, 클레임, 이용자 만족을 설계할 때 평균 성공 횟수 대신 ’한 번도 성공하지 못한 사람의 비율’을 함께 보아야 서비스의 가치가 왜곡 없이 전달된다. (SDV(데이터 가치화))
결론: 없음의 확률을 먼저 구하라
나는 학생들에게 ’적어도’라는 단어가 나오면 일단 연필을 내려놓고 “하나도 없을 확률이 얼마인가”부터 물으라고 가르친다. 1%의 확률은 100번 시도로 보장되지 않는다. 표시된 확률 숫자보다, 그 확률에 몇 번을 도전해야 하는지가 실제 경험을 결정한다.