(확률의 도구들) 경우의 수 세기 — 카드 한 장을 뽑을 때 확률 계산법
통계기초
확률
화투 48장 중 광은 5장뿐이다. 고스톱 첫 패 10장에 광이 세 장 이상 들어올 확률은 5.4%. 카드 한 장을 뽑는 확률은 ’해당하는 장수 ÷ 전체 장수’이고, 겹치는 조건은 중복을 빼야 한다. 세기의 기술이 확률의 전부다.
첫 패에 광이 석 장
고스톱을 치다 첫 패에 광이 세 장 들어오면 “오늘 운이 좋다”는 말이 절로 나온다. 얼마나 운이 좋은 걸까? 화투는 12개월 × 4장 = 48장이고 그중 광은 5장이다. 카드를 뽑는 확률 문제는 결국 경우의 수를 세는 문제다. 라플라스의 정의로 \(P(A)=n(A)/n(S)\), 곧 ’해당하는 경우의 수 ÷ 전체 경우의 수’를 계산하면 된다.
한 장을 뽑을 때: 장수만 세면 된다
화투 한 장을 뽑아서 광일 확률은 \(5/48\approx10.4\%\), 특정 월(예: 8월)의 카드가 나올 확률은 \(4/48\approx8.3\%\)다. 트럼프 52장으로 옮겨도 마찬가지다. 하트일 확률은 \(13/52\), 그림 카드(J, Q, K)일 확률은 \(12/52\)다. 그렇다면 “하트이거나 그림 카드”일 확률은 \(25/52\)일까? 아니다. 하트 그림 카드 3장이 두 번 세어지기 때문이다.
\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\tfrac{13}{52}+\tfrac{12}{52}-\tfrac{3}{52}=\tfrac{22}{52}\]
여러 장을 뽑을 때: 조합으로 센다
화투 패 10장을 받는 경우는 \(\binom{48}{10}\)가지이고, 그중 광 5장에서 \(k\)장, 나머지 43장에서 \(10-k\)장을 고르는 경우의 수는 \(\binom{5}{k}\binom{43}{10-k}\)다. 이 비율이 첫 패의 광 개수 분포다. 계산해보면 광이 한 장도 없을 확률이 29.3%, 한 장 43.1%, 두 장 22.2%, 세 장 4.9%, 네 장 0.47%, 다섯 장 0.01% 미만이다. 세 장 이상은 합쳐서 약 5.4%, 스무 판에 한 번꼴이다.
카드 확률 계산 순서
- 전체 경우의 수를 먼저 정하라. 한 장이면 장수, 여러 장이면 \(\binom{N}{n}\)이다.
- 사건에 해당하는 경우의 수를 센다. 여러 조건이 겹치면 곱의 법칙과 합의 법칙을 나눠 쓴다.
- ’또는’은 겹침을 빼라. \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
- 순서가 중요한지 확인하라. 손에 든 패는 순서가 없으므로 조합을 쓴다.
더 깊이: 곱의 법칙과 조합
강의노트 〈수리통계학 1. 확률론 — 확률계산 방법〉은 표본점을 세어 \(P(A)=n/N\)을 구하는 Sample-Point 방법과, 곱의 법칙·순열·조합으로 경우의 수를 요약한 표를 제공한다. 오늘의 화투 계산은 그 표의 조합 공식 하나를 그대로 적용한 것이다.
SDV 관점: 세는 단위를 바꾸면 가치가 보인다
경우의 수를 정확히 세는 일은 요약과 추론(1~2단계)의 기초다. SDV(통계적 데이터 가치화) 관점에서 이 훈련이 가치가 되는 이유는, 현업의 ‘조합’ 문제가 카드 패와 같은 구조이기 때문이다. 상품 묶음 구성, 프로모션 조합, A/B 테스트의 셀 개수는 모두 조합으로 폭발한다. 가능한 경우가 몇 개인지 먼저 세어보면, 어떤 조합을 전수 검토할 수 있고 어떤 조합은 표본 설계로 줄여야 하는지가 드러난다. 세기는 자원을 어디에 쓸지 정하는 설계의 출발점이다. (SDV(데이터 가치화))
결론: 확률은 곱셈과 덧셈으로 센 결과다
나는 학생들에게 확률 공식을 외우지 말고 ’카드를 펼쳐놓고 세어보라’고 말한다. 5.4%라는 숫자는 마법이 아니라 \(\binom{5}{3}\binom{43}{7}\) 같은 경우의 수를 센 결과다. 무엇을 셀지, 겹치는 것은 없는지만 챙기면 카드 한 장에서 열 장까지 같은 원리다.
참고 자료
- 화투는 12개월 × 4장 = 48장이며 광은 5장(1·3·8·11·12월)이라는 구성은 일반적으로 알려진 화투 규칙에 따른다.
- 트럼프 카드(52장)의 구성: 4무늬 × 13숫자.