(확률의 도구들) 확률을 세는 언어 — 표본공간과 사건이란 무엇인가
통계기초
확률
윷 네 개를 던지면 도·개·걸·윷·모 다섯 가지 결과가 나온다. 그렇다면 각각 20%일까? 아니다. 개는 37.5%, 윷과 모는 6.25%다. 확률을 계산하는 첫걸음은 ’무엇이 일어날 수 있는가’를 빠짐없이 나열하는 표본공간과 사건이라는 언어를 익히는 일이다.
윷이 나올 확률은 5분의 1일까
설날 가족 윷놀이에서 누군가 “윷이 나올 확률은 다섯 가지 중 하나니까 20%지”라고 말했다면, 틀린 말이다. 결과의 종류가 다섯 가지(도·개·걸·윷·모)라는 것과, 다섯 결과가 같은 확률이라는 것은 전혀 다른 이야기다. 윷가락 하나가 평평한 면과 둥근 면이 나올 확률을 각각 50%라고 가정하면, 개는 37.5%, 도와 걸은 각각 25%, 윷과 모는 각각 6.25%다. 개가 윷보다 여섯 배 자주 나온다. 어떻게 이런 계산이 나올까? 답은 ’표본공간’을 제대로 세는 데 있다.
표본공간: 일어날 수 있는 모든 일의 목록
확률에서 가장 먼저 하는 일은 실험을 던져서 나올 수 있는 모든 결과의 집합, 곧 표본공간(sample space)을 적는 것이다. 윷가락 네 개를 구별해서 각각 평평한 면(F) 또는 둥근 면(R)이 나온다고 하면, 표본공간은 \(2^4=16\)가지다. 도·개·걸·윷·모는 이 16가지 결과를 ’평평한 면이 몇 개인가’로 묶어 이름 붙인 것에 지나지 않는다. 이렇게 표본공간의 일부분을 묶은 것을 사건(event)이라 부른다.
사건의 크기가 곧 확률이다
모든 결과가 같은 가능성을 갖는다는 가정(균등가능성) 아래에서는 사건 \(A\)의 확률이 \(P(A)=|A|/|S|\), 곧 사건에 속한 결과의 수를 표본공간 전체의 수로 나눈 값이다. 윷은 FFFF 한 가지뿐이니 \(1/16=6.25\%\), 개는 평평한 면이 두 개인 \(\binom{4}{2}=6\)가지이니 \(6/16=37.5\%\)다. ’결과의 종류가 다섯 가지’는 사건의 이름이 다섯 개라는 뜻일 뿐, 표본공간의 원소가 다섯 개라는 뜻이 아니다.
물론 실제 윷가락은 한쪽이 반원형이라 평평한 면과 둥근 면이 정확히 반반으로 나오지는 않는다. 여기서 계산한 값은 ’50 대 50’이라는 가정을 둔 이론값이며, 가정이 달라지면 표본공간의 각 원소 확률이 달라진다. 그래도 도·개·걸이 흔하고 윷·모가 귀하다는 큰 그림은 바뀌지 않는다.
확률 문제를 읽을 때 먼저 확인할 것
- 표본공간을 먼저 적어라. “무엇이 일어날 수 있는가”를 빠짐없이, 겹치지 않게 나열하는 일이 계산의 절반이다.
- 결과의 ’종류’와 ’가능성’을 혼동하지 마라. 종류가 다섯이라고 각각 \(1/5\)인 것은 아니다.
- 사건은 표본공간의 부분집합이다. 사건을 ’결과들의 묶음’으로 그려보면 확률은 묶음의 크기 비교가 된다.
- 균등가능성 가정이 성립하는지 스스로 물어라. 성립하지 않으면 원소마다 확률을 따로 붙여야 한다.
더 깊이: 집합의 언어로 쓰는 확률
강의노트 〈수리통계학 1. 확률론 — 표본공간과 사건〉은 표본공간을 실험의 모든 가능한 결과의 집합으로 정의하고, 사건을 그 부분집합으로 다룬다. 합집합·교집합·여집합 같은 집합 연산이 곧 ‘또는’·‘그리고’·’아니다’의 언어가 된다는 점이 앞으로 두 주 동안 쓸 모든 도구의 바탕이다.
SDV 관점: 데이터 분석의 첫 질문은 “가능한 경우의 전체가 무엇인가”
표본공간을 정의하는 일은 요약과 추론(1~2단계)의 출발점이다. 제가 제안하는 SDV(통계적 데이터 가치화) 관점에서 이는 더 실용적인 뜻을 갖는다. “전환율 3%”, “불량률 0.5%” 같은 숫자는 ‘무엇을 한 번의 시도로 세었는가’, 곧 표본공간의 단위를 정해야 비로소 의미가 생긴다. 방문자 기준인지 세션 기준인지, 부품 기준인지 로트 기준인지에 따라 같은 데이터가 전혀 다른 확률을 만든다. 데이터에 가치를 더하는 첫 단계는 계산이 아니라, 숫자가 어떤 표본공간 위에서 정의됐는지를 못 박는 일이다. (SDV(데이터 가치화))
결론: 세기 전에 나열하라
나는 학생들에게 확률 문제 앞에서 계산기를 두드리기 전에 표본공간부터 종이에 적어보라고 말한다. 윷놀이의 개가 윷보다 여섯 배 흔한 이유는 신비로운 것이 아니라, 개라는 사건에 속한 결과가 여섯 개이고 윷에는 하나뿐이라는 단순한 세기의 문제다. 확률은 결국 ’얼마나 많은 경우가 그 사건에 해당하는가’를 세는 언어다.