(확률의 도구들) 복권 기댓값으로 알아보기 — 기댓값이란 무엇인가

로또 한 게임 1,000원의 기댓값은 약 500원이다. 당첨금 총액이 판매액의 50%로 정해져 있기 때문이다. 매주 사서 1년을 버텨도 4·5등만 보면 대부분 투자금의 일부만 돌아온다. 기댓값은 ’평균적으로 얼마를 돌려받는가’를 말해주는 숫자다.

1,000원을 내면 평균 얼마를 돌려받나

로또 6/45 한 게임은 1,000원이다. 당첨금은 판매액의 50%로 정해져 있고, 5등은 5,000원, 4등은 50,000원이 고정이며 1~3등은 나머지를 당첨자 수로 나눠 받는다. 그렇다면 한 게임을 살 때마다 평균적으로 돌려받는 돈, 곧 기댓값은 얼마일까? 각 결과의 상금에 그 확률을 곱해서 더한 값이 기댓값이다.

\[E[X]=\sum_x x\,P(X=x)\]

계산해 보기: 4·5등에서만 180원

• 5등(번호 3개 일치): 확률 \(\binom{6}{3}\binom{39}{3}/\binom{45}{6}=2.244\%\) → 기여 \(0.02244\times5{,}000\approx\) 112원
• 4등(4개 일치): 확률 \(0.1365\%\) → 기여 \(0.001365\times50{,}000\approx\) 68원
• 1~3등: 확률은 1등 1/8,145,060, 3등 1/35,724 등으로 극히 작지만 상금이 크다. 판매액의 50%가 당첨금이므로 4·5등 몫(약 180원)을 뺀 나머지가 1~3등의 평균 기여분, 곧 약 320원이다.

합치면 기댓값은 약 500원, 즉 1,000원을 내고 평균 500원을 돌려받는다. 평균적으로 절반을 잃는 게임인 셈이다(이월된 회차 등에 따라 회차별로 달라질 수 있는 설계상의 평균이다).

Where the average 1,000 won goes: about 112 won from 5th prizes, 68 won from 4th prizes, roughly 320 won from 1st-3rd prizes (implied by the 50% payout rule), and about 500 won not returned to players.

한 사람의 1년은 어떨까

기댓값은 ’평균’이지 ’내가 얻을 값’이 아니다. 매주 5게임씩 1년(260게임)을 사는 사람 1만 명을 시뮬레이션해 보자. 1~3등은 확률이 너무 작아 대부분의 사람에게 한 번도 일어나지 않으므로, 여기서는 4·5등 상금만 세어 본다. 260,000원을 쓰고 4·5등에서 돌려받는 금액은 평균 약 46,300원이고, 거의 모든 사람이 쓴 돈의 절반에도 못 미친다.

10,000 simulated players who each buy 260 lotto games (5 per week for a year). Histogram of the money returned from 4th and 5th prizes only, versus the 260,000 won spent. Almost nobody gets back even half of what they spent from these prizes.

기댓값이 말해주는 것, 말해주지 않는 것

기댓값이 500원이라는 사실은 이 게임이 장기적으로 반복하면 평균 손실이 발생하도록 설계되었음을 알려준다. 그러나 개인에게 일어나는 일은 훨씬 들쭉날쭉하다. 대부분은 소액을 받거나 아무것도 받지 못하고, 극소수만 수억 원을 받는다. 기댓값은 그 극단값까지 확률로 가중해 하나의 숫자로 요약한 것이라 대부분의 사람이 실제로 겪는 경험과는 다를 수 있다.

기댓값을 읽을 때

1. 기댓값 = 각 결과 × 확률의 합. 큰 상금이라도 확률이 작으면 기여는 작다.
2. 기댓값은 ’반복했을 때의 평균’이지 한 번의 결과가 아니다.
3. 분포의 모양을 함께 보라. 극단값이 평균을 끌어올리면 대부분은 평균에 못 미친다.
4. 비용과 비교하라. 기댓값이 지불 금액보다 작으면 평균적으로 손해다.

더 깊이: 기댓값의 정의

강의노트 〈수리통계학 2. 확률변수 — 기대값 정의〉는 이산형 확률변수의 기대값을 \(\sum g(x)f_X(x)\)로 정의한다. 오늘 계산은 \(g(x)\)를 상금으로, \(f_X(x)\)를 등수별 당첨 확률로 놓은 그대로의 적용이다.

SDV 관점: 평균 한 줄이 감추는 분포를 함께 읽어라

기댓값을 계산하는 일은 요약과 추론(1~2단계)에 속한다. SDV(통계적 데이터 가치화) 관점에서 핵심은, “평균 수익률 5%”, “고객당 평균 매출 3만 원” 같은 숫자가 오늘의 시뮬레이션처럼 소수의 큰 값이 평균을 끌어올린 결과일 수 있다는 점이다. 평균만 보고 의사결정을 하면 대부분의 고객이 경험하는 현실과 괴리가 생긴다. 기댓값과 함께 분포, 곧 대부분의 사람이 얻는 값과 극단의 몫을 나란히 보여줄 때 숫자가 비로소 결정의 가치가 된다. (SDV(데이터 가치화))

결론: 평균이 500원이면, 나는 대개 500원보다 못 받는다

나는 학생들에게 복권을 사지 말라고 하지는 않는다. 다만 1,000원이 평균 500원으로 돌아온다는 사실, 그리고 대부분의 사람은 그 평균에도 못 미친다는 사실을 알고 사라고 말한다. 기댓값은 미래를 맞추는 예언이 아니라, 반복되는 게임의 구조를 한 숫자로 드러내는 도구다.

참고 자료

• 로또6/45 소개 — 동행복권: 당첨금 총액은 판매액의 50%, 5등 5,000원·4등 50,000원 고정.
• 고객센터 당첨자 가이드 — 동행복권