(조건부확률과 베이즈의 사고) 범인이 범행 현장에 있을 확률과 현장에 있던 사람이 범인일 확률 — 조건의 방향

통계기초
확률
범인은 반드시 범행 현장에 있었다. 그렇다고 현장에 있던 사람이 모두 범인일까? 같은 사건을 두고 두 조건을 뒤집으면 확률은 100%에서 2%로 떨어진다. 전확률 법칙은 이 방향 차이를 계산으로 연결해 주는 다리다.
Author

권세혁

Published

October 7, 2026

범인은 현장에 있었다, 그런데 현장에 있던 사람이 범인일까

수사 드라마에서 자주 나오는 말이 있다. “범인은 반드시 범행 현장에 있었다.” 맞는 말이다. 범인이 현장에 없었다면 범행이 불가능하다. 그런데 이 말을 뒤집어 “현장에 있었던 사람은 범인이다”라고 하면 틀린다. 같은 사건의 두 조건부확률이 완전히 다른 값을 가지기 때문이다. 하나는 \(P(\text{현장}\mid\text{범인})=100\%\), 다른 하나는 \(P(\text{범인}\mid\text{현장})\)이다.

가상의 도시에서 세어 보기

한 도시에 1만 명이 살고, 그중 범인은 1명이라고 하자. 범행 시각에 현장 근처에 있던 사람은 범인을 포함해 50명이다. 범인이 현장에 있었다고 가정하면 \(P(\text{현장}\mid\text{범인})=1\)이다. 그런데 현장에 있던 50명 중 범인은 1명뿐이므로, \(P(\text{범인}\mid\text{현장})=1/50=2\%\)다.

In a city of 10,000 people with one culprit and 50 people present at the scene: P(at scene | culprit) = 100%, but P(culprit | at scene) = 2%. The condition reversed, the answer collapses.

전확률 법칙: 두 방향을 잇는 다리

두 방향을 연결하는 도구가 전확률 법칙과 베이즈 정리다. 현장에 있을 확률 \(P(\text{현장})\)은 범인이 현장에 있는 경우와 범인이 아닌 사람이 현장에 있는 경우를 합친 것이다.

\[P(\text{현장})=P(\text{현장}\mid\text{범인})P(\text{범인})+P(\text{현장}\mid\text{범인}^c)P(\text{범인}^c)\]

이 식에 숫자를 넣으면 \(P(\text{현장})=1\times0.0001+0.005\times0.9999\approx0.0051\)이고, 따라서 \(P(\text{범인}\mid\text{현장})=0.0001/0.0051\approx2\%\)가 된다. 방향을 뒤집을 때 필요한 것은 전체 집단에서 범인이 얼마나 드문지, 곧 사전확률이다.

Posterior probability that a person at the scene is the culprit, as the number of people present grows (10,000-person city, one culprit). The more people are at the scene, the less the presence alone points to the culprit.

조건의 방향이 실제 판단을 바꾸는 순간

법정이나 수사에서 “범인은 현장에 있었다”는 증거는 그 자체로 강하지만, 현장에 있었다는 사실만으로 특정인을 범인이라 부르기에는 부족하다. 현장에 있었던 사람은 대부분 범인이 아니라는 기저율이 함께 있기 때문이다. 반대로 범인이라는 증거가 있으면 현장 확인이 강해진다. 증거의 방향을 헷갈리면, 무고한 사람을 범인으로 몰거나 진짜 범인을 놓치게 된다.

조건의 방향을 바꿀 때 확인할 것
  1. “A이면 B”와 “B이면 A”를 구분하라. 두 문장의 확률은 분모가 다르다.
  2. 전확률로 분모를 풀어 써라. \(P(B)=\sum P(B\mid A_i)P(A_i)\)로 나누면 방향 전환이 계산이 된다.
  3. 사전확률(기저율)을 반드시 명시하라. 대상 집단이 클수록 같은 증거의 힘은 약해진다.
  4. 증거가 몇 명에게 해당하는지 세어 보라. 해당자가 많으면 조건 자체의 의미는 희석된다.

더 깊이: 전확률 법칙

강의노트 〈수리통계학 1. 확률론 — 전확률 법칙〉은 표본공간을 서로소인 사건들로 나눌 때 \(P(B)=\sum_i P(B\mid A_i)P(A_i)\)가 성립함을 보인다. 오늘 현장 확률을 계산한 두 항이 바로 그 분해다. 이 식과 베이즈 규칙을 결합하면 조건의 방향을 자유롭게 바꿀 수 있다.

SDV 관점: 방향을 바꾸는 계산이 없으면 데이터는 쉽게 낙인이 된다

조건의 방향을 구분하는 일은 요약과 추론(1~2단계)이며, SDV(통계적 데이터 가치화) 관점에서는 데이터가 사람을 판단하는 근거가 될 때 특히 중요하다. 이상 거래 탐지, 신용 평가, 사고 위험 예측에서 “위험 행동을 한 사람 중 A 속성이 많다”는 사실을 “A 속성을 가진 사람은 위험하다”로 바꿔 읽으면, 대부분 무고한 사람에게 불이익이 돌아간다. 데이터를 가치 있는 결정으로 바꾸려면, 모든 조건부 지표에 방향과 기저율을 함께 적고 전확률로 검산하는 절차가 필요하다. (SDV(데이터 가치화))

결론: 확률은 방향을 가진다

나는 학생들에게 수사극의 명대사 하나를 떠올리게 한다. “범인은 현장에 있었다.” 이 문장은 참이지만, 뒤집으면 전혀 다른 문장이 된다. 조건부확률을 배운다는 것은, 문장 속 조건의 방향을 세는 습관을 익히는 일이다.

  • 1만 명 도시, 범인 1명, 현장 50명이라는 설정은 조건의 방향을 보여주기 위한 가상의 예시다.