(우연을 다루는 더 깊은 생각) 오늘 날씨가 내일 날씨에 미치는 영향 — 마르코프 체인 쉽게 이해하기

내일 날씨를 맞히는 데 지난주 날씨까지 알 필요는 없다. 오늘이 맑았는지 흐렸는지만 알면 충분하다는 것이 ’마르코프 성질’이다. 이 단순한 가정 하나로, 장기적으로 맑은 날과 비 오는 날의 비율이 어디로 수렴하는지까지 계산할 수 있다.

내일 날씨를 맞히는 데 지난주 날씨는 필요 없다

내일 비가 올지 예측하고 싶을 때, 지난주 날씨까지 알아야 할까? 직관적으로도 “오늘 날씨”가 가장 중요한 단서이고, 그제나 지지난 주의 날씨는 내일을 맞히는 데 거의 도움이 되지 않는다. 이렇게 “바로 다음 상태는 현재 상태에만 의존하고, 그 이전의 과거에는 의존하지 않는다”는 성질을 마르코프 성질(Markov property)이라 하고, 이 성질을 만족하는 확률 과정을 마르코프 체인(Markov chain)이라 부른다. 복잡해 보이지만, 조건부확률의 언어로 쓰면 한 줄이다.

\[P(\text{내일}\mid\text{오늘, 어제, 그제}, \ldots) = P(\text{내일}\mid\text{오늘})\]

두 가지 날씨, 두 개의 화살표

가장 간단한 예로 날씨를 “맑음”과 “비” 두 가지 상태로만 나누고, 오늘 상태에 따라 내일 상태가 어떤 확률로 바뀌는지 가정해보자. 맑은 날 다음 날에도 맑을 확률이 70%(비로 바뀔 확률 30%), 비 온 날 다음 날에도 비가 올 확률이 60%(맑음으로 바뀔 확률 40%)라고 하자. 이 네 개의 숫자가 전부다.

A simple two-state weather Markov chain: from a sunny day, tomorrow is sunny with probability 0.7 and rainy with 0.3; from a rainy day, tomorrow is rainy with probability 0.6 and sunny with 0.4. Only today’s state matters for tomorrow - nothing further back.

100일, 1,000일을 시뮬레이션하면 비율이 한 곳으로 모인다

이 규칙만으로 날씨를 계속 생성해보자. 첫날이 맑든 비가 오든 상관없이, 충분히 많은 날이 지나면 맑은 날과 비 오는 날의 비율이 특정한 값으로 수렴한다. 이 값을 정상분포(stationary distribution)라 부르며, 전이확률로부터 직접 계산할 수 있다. 이 모델에서는 맑음이 약 57.1%, 비가 약 42.9%로 수렴한다.

A simulated 2,000-day run of the weather chain. The running share of sunny days (solid line) fluctuates early on but settles near the analytically computed stationary probability of 57.1% (dashed line), regardless of whether the chain started sunny or rainy.

마르코프 체인이 쓰이는 곳

이 단순한 아이디어는 날씨 예보 모델뿐 아니라, 구글이 웹페이지의 중요도를 매기는 페이지랭크(PageRank) 알고리즘, 문장을 한 글자씩 예측하는 언어 모델의 초기 버전, 질병의 상태 전이(건강→경증→중증→회복)를 추적하는 역학 모델에도 그대로 쓰인다. 공통점은 모두 “다음 상태는 현재 상태에만 의존한다”는 단순화를 받아들인다는 것이다. 현실은 더 복잡하지만, 이 단순화만으로도 놀라울 만큼 많은 것을 설명할 수 있다.

마르코프 체인을 알아보는 법

1. “다음에 무슨 일이 일어날지 알기 위해 과거가 얼마나 필요한가”를 물어라. 현재 상태만으로 충분하다면 마르코프 체인으로 모형화할 수 있다.
2. 상태와 전이확률을 먼저 정의하라. 몇 가지 상태가 있고, 상태 사이를 오가는 확률이 얼마인지부터 적어야 한다.
3. 장기 비율(정상분포)과 당장의 다음 상태를 구분하라. 오늘 날씨를 안다고 내일이 확정되지는 않지만, 장기 비율은 안정적으로 예측된다.
4. 단순화가 어디서 깨지는지 의심하라. 실제로는 “장마철”처럼 계절이 전이확률 자체를 바꾸기도 한다.

더 깊이: 조건부확률의 반복으로 보는 마르코프 성질

강의노트 〈수리통계학 1. 확률론 — 조건부 확률〉이 정의하는 \(P(A\mid B)\)의 틀을 그대로 가져오면, 마르코프 성질은 “내일의 조건부확률이 오늘이라는 조건 하나로 완전히 결정되고, 그 이전 조건들은 더 이상 정보를 주지 않는다”는 특수한 경우다. 조건부확률이라는 기본 도구 하나가, 시간에 따라 변하는 복잡한 현상을 다루는 틀로 확장되는 셈이다.

SDV 관점: “다음 상태”를 예측하는 모델이 데이터에 가치를 더한다

마르코프 체인으로 다음 상태를 예측하는 일은 통계적 학습(3단계)에 가까운 작업이며, SDV(통계적 데이터 가치화) 관점에서는 고객 행동, 설비 고장, 재고 흐름처럼 “상태가 바뀌어 가는” 데이터에 폭넓게 적용된다. 고객이 ‘활성→휴면→이탈’ 상태를 오가는 비율을 마르코프 체인으로 추정하면, 단순히 “이번 달 이탈률”을 보고하는 데 그치지 않고 “앞으로 안정적으로 수렴할 장기 고객 구성비”까지 예측할 수 있다. 현재 상태를 아는 것만으로 미래를 유용하게 예측할 수 있는 지점을 찾아내는 것이, 데이터를 가치 있는 결정으로 연결하는 기술이다. (SDV(데이터 가치화))

결론: 복잡한 과거 대신 오늘 하나만 보라

나는 학생들에게 마르코프 체인을 “기억력이 하루짜리인 확률 모델”이라고 설명한다. 어제와 그제의 날씨를 모두 기억하는 모델보다, 오늘 하루만 기억하는 단순한 모델이 오히려 다루기 쉽고 예측 가능한 장기 패턴을 보여준다는 것이 이 체인의 매력이다.

참고 자료

• 전이확률(맑음→맑음 70%, 비→비 60%)은 마르코프 체인의 작동 방식을 보여주기 위한 가상의 설명용 수치다. 실제 기상 현상의 전이확률은 계절과 지역에 따라 다르다.